Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

Глава XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

Задачи повышенной трудности к главе XI. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов

1269. На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что (рис. 369). Докажите, что ∠AMB = 45°.

1270. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.

1271. Докажите, что площадь S произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, с, d (последовательно) удовлетворяет неравенству

1272. Докажите, что в треугольнике АВС биссектриса АА₁ вычисляется по формуле Где b = АС, с = АВ.

Ответы >>>

1273. Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны.

1274. Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле

где р — полупериметр, a, b, с, d — стороны четырёхугольника.

1275. Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.

1276. В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка Е — середина отрезка CD, угол С BE равен α. Найдите площадь трапеции ABCD.

1277. В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол АВС равен β, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС.

1278. В треугольнике АВС проведены высота АН длиной h, медиана AM длиной l, биссектриса AN. Точка N — середина отрезка МН. Найдите расстояние от вершины А до точки пересечения высот треугольника АВС.

Ответы >>>